Master Theorem

前言

• 在介绍主定理之前，需要了解一下关于表示时间复杂度的几种形式。

• $O(big-O)$ 表示最坏时间复杂度，为上界。
• $\Omega(big-Omega)$ 表示最优时间复杂度，为下界。
• $\Theta(big-Theta)$ 表示确界，当上界和下届相同时，可以用这个来表示时间复杂度。

主定理

主定理主要解决递归式的时间复杂度计算。但并不能解决所有的递归式。主要适用如下递归式：

$$T(n) = aT({n \over b}) + f(n)$$

• $n$ 是问题规模。
• $a$ 为递归的子问题。
• ${n \over b}$ 为每个子问题的规模。
• $f(n)$ 为递归以外的计算量。

三种 case

• 主定理的结果主要跟 $f(n)$ 有关。
• 当 $f(n) = O(n^{(\log_ba) - \epsilon})$ 其中 $\epsilon > 0$ （相当于 $\log_ba > f(n)$)，则有 $T(n) = \Theta(n^{log_ba})$。
• 当 $f(n) = \Theta(n^{\log_ba})$，则有$T(n) = \Theta(n^{\log_ba}\log n)$。
• 当 $f(n) = \Omega(n^{(\log_ba) + \epsilon})$ 其中 $\epsilon > 0$ （相当于$\log_ba < f(n)$），则有 $T(n) = \Theta(f(n))$

简化版本

如果 $T(n) = aT({n \over b}) + O(n^d)$（其中 $a > 0, b > 1, d \ge 0$），则有

$$T(n) = \begin{cases} O(n^d) &if\ d > \log_ba \\ O(n^d\log n) &if\ d = \log_ba\\ O(n^{log_ba}) &if\ d < \log_ba \end{cases}$$

总结

计算递归时间复杂度的话，一般两种方法，画递归树手算和用主定理，具体情况具体分析。